Strona jest zbiorem przydatnych materiałów do nauki teorii węzłów, splotów, supłów i podobnych obiektów.
kursy na uniwersytetach
- 2023/2024 Hamburg (Kobordyzmy i TQFT. Homologia Chowanowa dla splotów. Homologia Lee i niezmiennik Rasmussena. Kolorowy wielomian Jonesa i jego kategoryfikacje. Niezmiennik Rozansky'ego-Willisa. Algebry Heckego. Kwantowa dualnosć Schura-Weyla i gl(N) teoria motkowa. Bimoduły Soergela. Kompleksy Rouquiera i Rickarda).
- 2023/2024 Wrocław (Wstęp: definicje i przykłady węzłów i splotów, węzły dzikie i poskromione. Diagramy i równoważność węzłów, ruchy Reidemeistera. Liczby skrzyżowań, mostów, odwiązania, linkingu. Liczby 3-kolorowań i p-kolorowań. Skręt, nawias Kauffmana i wielomian Jonesa. Wielomian Jonesa węzłów alternujących. Powierzchnia Seiferta, genus i suma spójna węzłów. Grupy podstawowe węzłów i twierdzenie van Kampena. Wielomian Alexandera. Rozmaitości trójwymiarowe i chirurgia Dehna. Warkocze i ich grupy. "Węzły" wysokowymiarowe i slice knots).
- 2019/2020 California, LA (węzły i sploty; ruchy Reidemeistera; spin; lustra, odwrotności, sumy spójne, dubel Whiteheada; 3-kolorowania; wielomian Jonesa; hipotezy Taita; wielomian Alexandera/Conwaya; niezmiennik Wasiljewa).
- 2017/2018 Berlin (węzły i sploty, grupa, homologie, powierzchnie Seiferta, nakrycia cykliczne, wielomiany Alexandera i Jonesa, 3-rozmaitości i rozszczepienia Heegaarda, zgodność, grupy warkoczowe, rozgałęzienia nakryć).
- 2013/2014 Karlsruhe.
wykłady online
Kanał na Youtube.
“Knots, homologies and physics” is a research program organized within the “Simons semester” series from March 1 until June 30, 2024. It is devoted to the analysis of the relations between knot theory and physics. The program is hosted at the Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, and co-organized by the Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, and Faculty of Physics, University of Warsaw.
This course will begin with fundamentals of knot theory, then will go through generalized theories of knots. Finally we will construct functions for classifying knots and their generalizations that utilize combinatorial and graph theoretical approaches in their constructions.
Coloring. Alexander polynomial. Surfaces and genus. Braids. Fundamental group. The knot group. Linking number. Local moves on links. Jones polynomial. Slice and concordance. Concordance group.
We will discuss methods of decomposing knot and link complements into polyhedra. Using hyperbolic geometry, angled structures, and normal surface theory, we analyze geometric and topological properties of knots and links.
hiperłącza
materiały zagraniczne
Jest co najmniej pięć dobrych książek, od których można zacząć przygodę z teorią węzłów, w zależności od tego, ile matematyki już się umie.
Oprócz niżej wymienionych można sprawdzić Encyclopedia of knot theory (wbrew nazwie, to nie jest encyklopedia i niezbyt nadaje się do samodzielnej nauki!).
książka C. Allarda
Szczątkowy dostęp do książki tutaj.
Większość publikacji poświęconych teorii węzłów lub pokrewnym dziedzinom matematuni (takich jak teoria warkoczy, 3-rozmaitości, topologia algebraiczna) nigdy nie została przełożona na język polski i właściwie nie wiadomo, czemu tak jest.
Przytycki napisał "Węzły: podejście kombinatoryczne do teorii węzłów" około 1995 roku, ale od wydania tej pozycji minie niedługo trzy dekady.
Pustkę spróbują zapełnić notatki "Kombinatoryczna teoria wężów" francuskich topologów C. Allarda, A. Gauthier; a właściwie polskie tłumaczenie tych notatek.
Książka opowiada o ruchach Reidemeistera, dwóch głównych problemach tego działu matematyki (klasyfikacja i rozróżnianie węzłów, w szczególności wykrywanie niewęzła), hipotezach Taita, różnych notacjach dla splotów (Dowkera-Thistlethwaite'a, Alexandera-Briggsa, Conwaya), operacjach na splotach (lustrze, rewersie, różnych typach symetrii wywodzących się z tych dwóch; sumie spójnej i jej uogólnieniach), węzłach pierwszych, całkowitoliczbowych niezmiennikach (indeks skrzyżowaniowy, liczba gordyjska, liczba mostowa, indeks zaczepienia, spin, liczba patykowa, długość sznurowa).
Niezmiennikach, które mają coś wspólnego z kolorowaniem łuków na diagramie: trójkolorowaniu, n-kolorowaniu, etykietowaniu elementami grupy, etykietowaniu elementami kwandla; macierzy oraz grupie kolorującej, wyznaczniku i defekcie.
Pojawiają się wszystkie ważne niezmienniki:
-
niezmienniki wielomianowe:
Przydatnych narzędziach z topologii algebraicznej, takich jak grupa podstawowa dopełnienia, prezentacji Wirtingera, powierzchniach Seiferta oraz niezmiennikach przez nie wyznaczanych: sygnaturze, genusie; są wreszcie homologie Chowanowa.
Ostatni rozdział przedstawia konkretne rodziny węzłów i splotów: warkocze, supły, sploty wymierne, mutanty, precle, węzły Lissajous, torusowe, satelitarne, hiperboliczne.
Na końcu jest trochę diagramów o niskim indeksie skrzyżowaniowym; tablice z wartościami niezmienników, żeby nie musieć ich szukać jeszcze raz; słowniczek polsko-angielski i całkiem długa bibliografia.
